Matematika · Sifat Operasi Fungsi Komposisi

1. Bornok Sinaga, Pardomuan N.J.M Sinambela

23/08/2021 08:01:32

SMA 10 K-13 revisi 2017

Daftar Isi

Kompetensi Dasar Konsep Nilai Mutlak Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel Uji Kompetensi 1 Rangkuman

Kompetensi Dasar Menyusun dan Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Uji Kompetensi 1 Uji Kompetensi 2 Rangkuman

Kompeteni dasar Memahami Notasi, Domain, Range, dan Grafik Suatu Fungsi Menemukan Konsep Fungsi Komposisi Operasi Aljabar pada Fungsi Fungsi Invers Sifat Operasi Fungsi Komposisi Menemukan Rumus Fungsi Invers Uji Kompetensi 1 Uji Kompetensi 2 Rangkuman

Kompetensi dasar Ukuran Sudut Perbandingan Trigonometri Nilai Perbandingan Trigonometri Relasi Sudut Identitas Trigonometri Aturan Sinus dan Cosinus Grafik Fungsi Trigonometri Uji Kompetensi 1 Uji Kompetensi 2 Uji Kompetensi 3 Uji Kompetensi 4 Uji Kompetensi dan rangkuman

Halaman

Matematika91 ii. f(x) = –3x – 2 (fg)(x) = f(g(x))= –3 ×g(x) – 2, karena f(x) = –3x – 2 = –3 × (2x2 – 6) – 2= –6x2 + 18 – 2= –6x2 + 16Jadi, fungsi komposisi (fg)(x) = -6x2 + 163.4 Sifat-Sifat Operasi Fungsi KomposisiUntuk menentukan sifat-sifat operasi fungsi komposisi pahamilah contoh-contoh di bawah ini.Contoh 3.4Diketahui fungsi f: → dengan f(x) = 4x + 3 dan fungsi g: → dengan g(x) = x – 1. a) Tentukanlah rumus fungsi komposisi (gf)(x) dan (fg)(x).b) Apakah (gf)(x) = (fg)(x)? Coba selidiki.Alternatif Penyelesaiana) Menentukan rumus fungsi komposisi (gf)(x) dan (fg)(x).i. (gf)(x) = g(f(x))= g(4x + 3)= (4x + 3) –1= 4x + 2ii. (fg)(x) = f(g(x))= f(x – 1)= 4(x – 1) + 3= 4x – 4 + 3= 4x –1

Kelas X SMA/MA/SMK/MAK92Dengan demikian, (gf)(x) = 4x + 2 dan (fg)(x) = 4x – 1.b) Selidiki apakah (gf)(x) = (fg)(x).Berdasarkan hasil perhitungan butir (a) di atas diperoleh (gf)(x) = 4x + 2, dan (fg)(x) = 4x –1 Untuk x = 2 diperoleh bahwa (gf)(2) = 4(2) + 2 = 10 dan (fg)(2) = 4(2) – 1 = 7Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa: gf tidak sama dengan fg atau gf≠fg.Berdasarkan Contoh 3.4 di atas, dapat disimpulkan bahwa pada umumnya sifat komutatif pada operasi fungsi komposisi tidak berlaku, yaitu gf≠fg.Contoh 3.5Diketahui fungsi f: → dengan f(x) = 2x – 1, fungsi g: →dengan g(x) = 4x + 5, dan fungsi h: →dengan h(x) = 2x – 3.a) Tentukanlah rumus fungsi komposisi g(fh) dan (gf) h.b) Tentukanlah rumus fungsi komposisi f(gh) dan (fg) h.c) Apakah g (fh) = (gf)h, dan f (gh) = (fg)h. Coba selidiki.Alternatif Penyelesaiana) Rumus fungsi komposisi (g(fh))(x) dan ((gf)h)(x)i) Misalkan k(x) = (fh)(x)k(x) = f(h(x)) = 2h(x) – 1 = 2(2x – 3) – 1 = 4x – 6 – 1 = 4x – 7

Matematika93 (g(fh)(x)) = (gk)(x)= g(k(x))= 4(k(x)) + 5= 4(4x – 7) + 5= 16x – 28 +5= 16x – 23Jadi, fungsi komposisi (g(fh)(x)) = 16x – 23ii) Misalkan l(x) = (gf)(x)l(x) = g(f(x)) = 4(f(x)) + 5 = 4(2x – 1) + 5 = 8x – 4 + 5 = 8x + 1 ((gf)h)(x) = (lh)(x) = l(h(x)) = 8(h(x)) + 1 = 8(2x – 3) + 1 = 16x – 24 + 1 = 16x – 23Jadi, rumus fungsi komposisi ((gf)h)(x) = 16x – 23.b) Rumus fungsi komposisi (f(gh))(x) dan ((fg)h)(x)i) Misalkan m(x) = (gh)(x)m(x) = g(h(x)) = 4(h(x)) + 5= 4(2x – 3) + 5= 8x – 12 + 5= 8x – 7

Kelas X SMA/MA/SMK/MAK94 (f(gh)(x)) = (fm(x))= f(m(x))= 2(m(x)) – 1= 2(8x – 7) – 1= 16x – 14 – 1 = 16x – 15Jadi, rumus fungsi komposisi (f(gh)(x)) = 16x – 15ii) Misalkan n(x) = (fg)(x) n(x) = f(g(x))= 2(4x + 5) – 1= 8x + 10 – 1 = 8x + 9 ((fg)h)(x) = (nh(x))= n(h(x))= 8(h(x)) + 9= 8(2x – 3) + 9= 16x – 24 + 9= 16x – 15Jadi, rumus fungsi komposisi ((fg)h)(x) = 16x – 15c) Dari butir (a) dan butir (b), diperoleh nilaii) (g(fh)(x)) = 16x – 23 dan ((gf)h)(x) = 16x – 23ii) (f(gh)(x)) = 16x – 15 dan ((fg)h)(x) = 16x – 15Berdasarkan nilai-nilai ini disimpulkan bahwai) (g(fh)(x)) = ((gf)h)(x) = 16x – 23ii) (f(gh)(x)) = ((fg)h)(x) = 16x – 15

Matematika95Dari uraian Contoh 3.5 di atas disimpulkan bahwa sifat asosiatif berlaku pada operasi fungsi komposisi sebagai berikut. Sifat 3.1Diketahui f, g, dan h suatu fungsi. Jika Rh∩Dg≠ Ø; Rgh∩Df≠ Ø; Rg∩Df≠ Ø; Rh∩Dfg≠ Ø, maka pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, yaituf(gh) = (fg)hContoh 3.6Diketahui fungsi f: → dengan f(x) = 5x – 7 dan fungsi identitas I: → dengan I(x) = x. Tentukanlaha) rumus fungsi komposisi fI dan If.b) apakah fI = If = f. Selidikilah.Alternatif Penyelesaiana) Rumus fungsi komposisi fI dan If (fI)(x) = f(I(x))= f(x)= 5x – 7 (If)(x) = I(f(x))= I(f(x))= 5x – 7b) Berdasarkan hasil pada butir (a) maka dapat disimpulkan bahwafI = If = f

Kelas X SMA/MA/SMK/MAK96Berdasarkan penyelesaian Contoh 3.6 diperoleh sifat berikut.Sifat 3.2Diketahui f suatu fungsi dan I merupakan fungsi identitas. Jika RI∩Df ≠ Ø, maka terdapat sebuah fungsi identitas, yaitu I (x) = x, sehingga berlaku sifat identitas, yaitufI = If = fAgar kamu lebih memahami Sifat 3.2, selesaikanlah latihan berikut.Latihan 3.3Diketahui fungsi f: → dengan f(x) = −235x dan fungsi identitas I: →dengan I(x) = x. Buktikanlah bawah (fI) = (If) = f.